LEIS DE KEPLER E DE TITIUS-BODE

Johannes Kepler, estudando as 'posições de Marte observadas por Tycho Brahe, conseguiu, pela primeira vez na história, mostrar que as órbitas dos planetas em tornpo do Sol não eram circunferências perfeitas, como se admitia até então, mas sim, elipses. Uma elipse é o lugar geométrico do plano tal que, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse até os seus focos é uma constante. Baseado nos dados disponíveis, ele pôde enunciar as famosas 3 leis de Kepler. É baseando-se nessas três leis e na teoria da gravitação universal que se pode determinar as massas das estrelas que compõem os chamados sistemas binários.

Primeira Lei de Kepler: Movimento elíptico

O alemão Kepler, no século  XVII , foi discípulo de Tycho Brahe, astronômo dinamarquês de alta capacidade e qualidade observacionais. Foi usando dados obtidos por Brahe que Kepler verificou que a órbita da Terra em redor do Sol era aproximadamente circular, mas o Sol não estava no centro da circunferência. Assim, o módulo do raio vetor  r  da Terra (segmento que une o Sol à Terra) varia de instante para instante ao longo da órbita.

Sabemos atualmente que a órbita da Terra é elíptica e não circular, mas a excentricidade é tão pequena que se torna difícil optar entre circunferência e elipse. Tendo verificado o tipo de órbita da Terra, Kepler partiu para verificar se a descentralização achada para a Terra valia também para os outros planetas, em particular para Marte do qual dispunha de muitos dados observacionais. Construiu então o gráfico polar colocando as distâncias  Dn  encontradas em função dos ângulos n  medidos a partir da oposição. Verificou, agora sim, que a órbita era indubitavelmente não circular. A melhor curva que passava pelos pontos encontrados era uma elipse, com o Sol em uma dos focos .

O enunciado da Primeira lei de Kepler pode ser:

1a.  Lei de Kepler : os planetas giram em torno do Sol em órbitas elípticas, ocupando o Sol um dos focos.

Segunda Lei de Kepler: Lei das áreas

Os planetas não percorrem sua elipse com velocidades orbitais constantes. Perto do foco ocupado pelo Sol os planetas aumentam de velocidade, atingindo o máximo no periélio, ou seja no ponto mais próximo ao Sol. Quando estão afastados do Sol, suas velocidades diminuem, passando por um mínimo no afélio, ou seja no ponto da trajetória mais afastado do Sol.

 Apesar dessas variações de velocidade, Kepler mostrou que as áreas 'varridas' pelos raios vetores de um planeta eram proporcionais ao tempo de 'varrição'. Pode-se dizer que a velocidade areolar de cada planeta é constante ao longo de sua órbita. Apesar de essas verificações terem sido feitas para Marte, Kepler intuiu que elas valeriam para os outros planetas, e enunciou a Segunda lei de Kepler :

2a.  Lei de Kepler : os raios vetores de cada planeta “varrem” áreas iguais em tempos iguais (costuma ser chamada de lei das áreas).

Terceira Lei de Kepler: Lei harmônica

Há muito tempo já se imaginava que quanto mais distante um planeta estava do Sol, tanto mais ele demorava para dar uma volta completa em torno do Sol. Kepler achou uma lei matemática que permitia calcular a relação entre o período orbital do planeta e o tamanho de seu semi-eixo maior: o cubo do semi-eixo maior é proporcional ao quadrado do período orbital. 

3a.  Lei de Kepler : os cubos dos semi-eixos maiores das órbitas são proporcionais aos quadrados dos períodos siderais.

Essa  Terceira Lei foi obtida bem depois das outras duas.

Lei de Titius e Bode

No século  XVIII , o astrônomo alemão Bode popularizou uma lei que fornecia o raio orbital dos planetas conhecidos (até Saturno). Notar que não foi ele o descobridor ; nem Titus, o qual apenas colocou uma nota de rodapé de um livro que traduziu. A lei pode ser traduzida matematicamente por

      (U. A.)

onde  n  toma os valores  - , 0, 1, 2, 4 e 5  para os planetas Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno, respectivamente. A distância  D  será dada em unidades astronômicas, ou seja, a distância da Terra ao Sol. Como não existia planeta correspondente ao  n = 3 , admitiam que aí faltava descobrir um planeta. Só bem mais tarde, aí foi verificada a existência de um cinturão de asteróides.

O planeta Urano, descoberto por Herschel (inglês) em 1781, obedecia à lei, mas Netuno (em 1846 por Galle e LeVerrier) e Plutão (em 1930, por Tombaugh e Lowell) fogem completamente dos valores previstos por ela. A tabela a seguir mostra esses dados. A lei, atualmente não tem nenhum suporte científico.

 

PLANETA

n

D (lei de Bode)

D (atual)

Mercúrio

-

0,4

0,387

Vênus

0

0,7

0,723

Terra

1

1,0

1,000

Marte

2

1,6

1,524

Asteróides

3

2,8

-2,8

Júpiter

4

5,2

5,202

Saturno

5

10,0

9,539

Urano

6

19,6

19,191

Netuno

7

38,8

30,071

Plutão

8

77,2

39,457